四色定理的思考

  四色定理,最初的问题是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”。这个定理看似简单,但证明起来却无比麻烦,以致于到现在依然没有数学方法证明它的正确性,只能通过计算机模拟在庞大的数量优势上取得成功。也就是说,虽然我们认为它是正确的,但我们却无法证明。当我看到这个问题时,也觉得很有意思,对此,我做了一些思考,并记录在这里。

问题的转化

  我们知道问题的内容是“只需要四种颜色就可以让所有区块与它相邻的区块颜色不同”,这里我将问题理解为:平面内最多只有四个“互相相邻”的图形。什么是“互相相邻”呢?这是我自己造的一个词,意思是任意一个图形都与其它的图形有邻边。那么我们可以知道,如果有五个图像“互相相邻”那么第五个图形至少会与其它一个图形颜色相同。
  那么我们可以知道,四个“互相相邻”的图形其实就是三个“互相相邻”的图形再加上一个图形与这三个图形相邻,以此类推,三个“互相相邻”的图形就是两个“互相相邻”的图形再加上一个图形与这三个图形相邻。那么接下来,我们就来模拟一下互相相邻的情况。

画图

  说起来这个图画了我好久,因为我作死要自己写svg图片
  进入正题,那么我们先从一个图形开始模拟,然后往上叠加,就可以得到四种图形的情况。
  我们用1,2,3,4四个数字分别表示四种颜色。

一个图形

  没错这就是一个图形的情况。我们将这个圆形标为1。

两个图形

  两个“互相相邻”的情况就是在一个图形的基础上再加一个图形与之相邻。我们将添加上去的图形标为2。由于我们考虑的是图形之间的相邻情况,所以图形的形状对此没有影响,也就是说两个“互相相邻”的图形只有一种情况。如下图:

三个图形

  同理,我们可以画出三个图形的样子,并将添加上去的图形标为3。和两个图形一样,三个图形也只有这一种情况。如下:

四个图形

  那么,为了使添加的图形与已经画出的三个图形相邻,我们可以画出这样的图形,将添加的图形标为4。当然也只有这一种情况。

五个图形?

  在我们画出四个“互相相邻”的图形后,我们想在其基础上再添加一个图形,使它变成五个“互相相邻”的图形,但是我们发现无论如何都无法实现。为什么呢?让我们仔细观察四个“互相相邻”图形的情况:

  我们会发现一个问题,在画四个“互相相邻”的图形时,为了使"4"与"1" "2" "3"相邻,我们只能用"4"将"2"的边包裹起来,也就是说"2"被"1" "3" "4"包住了,相当于"2"被“吃”了。当我们要画"5"与这四个图形相邻时,我们无论如何也无法画出"5"与"2"相邻。也就是说,不存在五个图形“互相相邻”的情况,最多只能有四个图形“互相相邻”。

存在的问题

  上述方法虽然说明了在平面内只存在四个图形“互相相邻”,但并不能说明平面内只用四种颜色就可以让所有区块与它相邻的区块颜色不同(也就是说我第一步就错了,被大佬打脸了)。为什么呢?让我们来看一下下面一个例子:

  没错就是这样一个例子,在这个例子中我们只能找到三个“互相相邻”的图形,但是整个图形你却必须用四种颜色,而无法用三种(不信你试试看)。这个例子也说明了可能存在某种情况,虽然只有四个图形“互相相邻”,但是依然要用五种颜色。综上,我的想法并不能证明只需要“四种颜色就可以让所有区块与它相邻的区块颜色不同”这个问题。

总结

  在这样思考的过程中,虽然方法和结果依然存在问题,但这样的思路我觉得值得我记录一下。